一、引言
众所周知，随着海上运输和海上工程在整个交通运输工程中所占的比重逐渐增大，海图中孤立的水深点和有限的等深线已无法满足船舶航行、航海仿真、海上工程、海洋地理信息系统等方面的需要。因此，对水深进行连续求值则显得尤为重要。
用于连续水深插值的方法主要有移动平均法、样条插值法、克里金法、距离加权法、神经网络法[1]、曲面拟合法[2]等。然而，一个适用于电子海图的水深插值算法应具备以下特点：
（1）在固定大小的海图区域能快速计算并生成水深曲线构建海底地形；
（2）水深点较少时，生成的海底地形能确保航行等海上活动的安全；
（3）计算得到的水深值误差小。
为了在电子海图系统中增加水下地形可视化功能，比较了常用的三种连续水深插值算法。根据以往的文献，移动平均法水深精度较差，误差较高，水深数据离散情况下，距离加权法对地形描述不够准确，神经网络法在水深数据多时计算慢，效率低。因此，本文采用了克里金法、样条插值法和曲面拟合法进行水深插值计算和水下地形生成。
本文介绍了三种水深插值算法并进行了比较；第二章介绍了克里金算法、样条插值算法与曲面拟合算法；第三章讨论实验与结果；第四章对实验结果的误差分析；第五章为总结并提出新的研究方向。
二、算法分析
1．克里金法
克里金法是通过一组具有Z值的分散点来生成估计表面。因此克里金法公式表示如下：
个位置处的测量值的克里金权重，N 为 测量值数量。
使用克里金方法时，li不仅取决于测量点之间的距离、预测位置，还取决于基于测量点的整体空间排列，即无偏性和估计均方差最小作为li选取的标准，公式如下
理论变异函数的模型常用的有线性模型、指数模型、高斯模型和球面模型等。因为球面模型应用最为广泛且其根据三维空间的随机移动平均过程推导获得，特别适用于三维空间，因此实验中采用球面模型作为变异函数。
2．样条插值
由于电子海图中的水深点是离散的、孤立的，因此，针对不规则的空间数据点，实验采用了结合格林函数的双调和样条插值算法。
对于二维及多维曲面，算法的推导与一维公式推导相同。m维度的N个数据点的公式为：
点处的斜率不连续，每一个斜率与方向有关。
3．二次曲面拟合
任意曲面在一点的二阶领域内可以表示成为一个二次曲面
去逼近拟合表达，拟合的目标就是求出系数矩阵；当局部面元小到一定程度时可近似表达成一个平面
当测量值数量超过六个时，通过最小二乘法解出方程组的六个系数，然后将插值点坐标代入曲面方程，计算值作为插值点的水深值。
三、实验与结果
1．实验条件
实验数据（i）五种不同比例尺的海图，比例尺分别为：1：4,000、1：8,000、1：22,000、1：45,000、1：90,000。（ii）在每种比例尺的海图的同一个区域取出75个水深点和300个水深点。因此，可以得到10组数据，如下表1。
度量方式（i）不同比例尺海图75个水深点与300个水深点根据上述的三种算法得到的三维海底地形纹理。（ii）三维海底地形图与水深数据点图的比较。（iii）插值后得到的水深值与真实值的均方差与最大方差
2．75个水深点三维海底地形生成实验
（第一列图为克里金算法，第二列图为样条插值算法，第三列图为二次曲面拟合算法，第四列图为75个水深数据点。
第一行为1：4,000海图，第二行为1：8,000海图，第三行为1：22,000海图，第四行为1：45,000海图第五行为1：90,000海图。）
根据图1所示，首先进行横向比较，在三种算法中克里金插值与样条插值能更准确地描述地形，生成的地形纹理丰富，有地形起伏变化；曲面拟合算法生成的海底地形表面光滑，描述地形不准确。通过纵向比较，克里金算法在不同比例尺海图上生成的海底地形相比其他两种方法更准确，纹理清晰；样条插值法可以较准确描述地形，但是在水深峰值附近水深过于平滑，其次目标水域外的水深误差大；曲面拟合算法在各比例尺海图中可以表现出海底地形的变化趋势，但是生成的地形纹理细节缺少。
3．300个水深点三维海底地形生成实验
（第一列图为克里金算法，第二列图为样条插值算法，
第三列图为二次曲面拟合算法，第四列图为300个水深数据点。
第一行为1：4,000海图，第二行为1：8,000海图，第三行为1：22,000海图，第四行为1：45,000海图第五行为1：90,000海图。）
当水深数据增多时，如图2所示。通过横向比较可知，曲面拟合算法生成的地形误差较大；克里金插值与样条插值算法得到的地形相对更准确，但是当水深数据均匀分布时，克里金插值得到的地形误差大。
通过纵向比较，样条插值算法在多数据点的条件下更能准确描述海底地形，而克里金算法与曲面拟合算法得到的误差大。
四、误差分析
根据图3和图4，通过拟合出的数据与真实数据计算均方差和最大方差，如表2和表3所示。
根据表2中的均方差，克里金算法对于75个点的情况下，适用于1：8,000至1：90,000的海图，而样条插值得到的均方差在各比例尺海图中均居中，曲面拟合得到的均方差最小；对于300个点的情况下，1：90,000海图中的水深误差较75个点的情况明显增大。样条插值算法在各比例尺海图中的误差趋于稳定，但是误差值偏高。二次曲面算法适用于各比例尺海图，且均方差值低。
根据表3，样条插值在各比例尺海图中的最大方差较大；曲面拟合算法得到的数值小，且稳定；克里金算法中在1：8,000~1：90,000的海图上最大方差值相对样条插值小。
综合上述图表可知，根据经纬度和水深点的精确程度来看，对于大比例尺海图（1：4,000），三种算法的均方差都比较大，相比之下样条插值算法更适用，在水深变化趋势上表现方面，样条插值算法在数值上会出现一些错误。海图比例尺逐渐减小时，可见三种算法的结果精确度提高并能良好反映水下地形变化趋势，其中在1：22,000和1：45,000海图中，克里金算法及二次曲面算法的均方差结果最好。但是，当海图比例尺为1：90,000时，图中二次曲面算法拟合的曲面准确性比其他两种算法更优。此外，三种算法对于大区域（300个点）的水深插值的准确性降低，但克里金算法的最大方差值最小，及样条插值算法的最大方差可知，其不适用于大区域内的水深插值。
另外，通过比较，克里金算法和样条插值算法对地形的描述更准确，可以显示出水下地形的起伏，而二次曲面拟合算法生成的曲面太平滑，不能反映地形起伏，由图1和图2可知，该算法只能反映出水深趋势变化平缓的区域。
综上所述，克里金算法在不同比例尺海图且在海域大小不同的情况下，综合效果比其他两种算法更好。因此，在电子海图系统中，优先考虑使用克里金算法完成水下地形生成功能，再通过二次曲面算法的辅助减小大区域及大比例尺海图中的误差。
五、结束语通
过比较三种水深插值算法，克里金算法、样条插值算法与二次曲面拟合算法在三维海底地形生成上的准确性与可视化效果。从实验可知，克里金算法无论在生成地形图中可以描述海底地形的变化与起伏，同时水深插值的精度值适中，且更适用于中小比例尺的海图。另外，虽然曲面拟合算法可视化效果不佳，但是水深插值精度值高，可以与克里金算法或样条插值算法进行结合，一方面确保了可视化效果，另一方面保证了计算的准确性。
对于海底地形的生成问题，还可以通过人工智能的方法，如神经网络等，对比较合适的几种算法得到的水深值进行评价以得到最佳水深点，再进行三维海底地形的生成。
